1、幂函数的概念
一般地，函数
叫做幂函数，其中是自变量，是常数；其定义域是使有意义的值的集合。
例1、已知幂函数
，且当时为减函数。求幂函数的解析式。
分析：正确理解幂函数的概念、幂函数的图象与性质。求幂函数的解析式，一般用待定系数法，弄明白幂函数的定义是解题的关键。
解答：由于
为幂函数，
所以
，解得，或。
当时，
，在上为减函数；
当时，
，在上为常函数，不合题意，舍去。
故所求幂函数
的解析式为。
2、幂函数的图象和性质
图象：
性质：
（1）所有的幂函数在上都有定义，并且图象都过点；
（2）如果
，则幂函数的图象过点和，并且在区间上是增函数；
（3）如果
，则幂函数的图象过点，并在区间上是减函数。在第一象限内，当从趋向于原点时，图象在轴右方无限地逼近轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴；
（4）当为奇数时，幂函数为奇函数；当为偶数时，幂函数为偶函数。
例2、比较
，，的大小。
分析：先利用幂函数
的增减性比较与的大小，再根据幂函数的图象比较与的大小。
解答：
而在上单调递增，且
，
。故。
例3、若函数
在区间上是递减函数，求实数m的取值范围。
分析：本题考查简单幂函数的性质以及函数图象的平移问题。
函数
是一个比较常用的幂函数，它也叫做反比例函数，其定义域是，是一个奇函数，对称中心为（0，0），在和上都是递减函数。一般地，形如的函数都可以通过对的图象进行变换而得到，所以这些函数的性质都可以借助的性质来得到。
解答：由于
，所以函数的图象是由幂函数
的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位得到的，所以其图象如图所示。
其单调递减区间是
和，而函数在区间上是递减函数，所以应有。
例4、若点
在幂函数的图象上，点在幂函数的图象上，定义，试求函数的最大值及其单调区间。
分析：首先根据幂函数的定义求出
，然后在同一坐标系下画出函数和的图象，得出的函数图象，最后根据图象求出最大值和单调区间。
解答：设
，因为点在的图象上，所以，所以，即；
又设
，点在的图象上，所以，所以，即。
在同一坐标系下画出函数和的图象，如图所示，则有
。
根据图象可知函数的最大值等于
，其单调递增区间是（，－1）和（0，1）；单调递减区间是和。
例5、已知幂函数
是偶函数，且在上是减函数，求函数的解析式，并讨论的奇偶性。
分析：先根据单调性求出m的取值范围，再由奇偶性进一步确定m的取值。讨论
的奇偶性时要注意对字母的讨论。
解答：由在上是减函数得
，。∵，0，1。
又因为是偶函数，∴只有当
时符合题意，故。
于是
，
。
当
且时，为非奇非偶函数；
当
且时，为奇函数；
当且
时，为偶函数；
当且时，为既奇又偶函数。
例6、已知幂函数
在上是增函数，且在定义域上是偶函数。
（1）求的值，并写出相应的函数的解析式；
（2）对于（1）中求得的函数，设函数
。问是否存在实数，使得函数在区间上是减函数，且在区间上是增函数？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由。
分析：第一问先根据单调性求出的取值范围，再由奇偶性进一步确定的取值。第二问可根据复合函数单调性的规律来解。
解答：（1）∵幂函数
在上是增函数，∴∴
又
，∴
∵在定义域上是偶函数，∴只有当
时符合题意，故。
（2）由，则
。
假设存在实数，使得满足题设条件。令
，则。
∵在上是减函数，∴当
时，；当时，。
若在区间上是减函数，且在区间上是增函数，则
在上是减函数，且在上是增函数，此时二次函数的对称轴方程是即，
∴
。
故存在实数，使得函数在区间上是减函数，且在区间上是增函数。
幂函数定义：
形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。
定义域和值域：
当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域。
性质：
对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：
首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。
当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：
排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数;
排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数;
排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。
总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：
如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数;
如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数;如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。
在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。
在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。
而只有a为正数，0才进入函数的值域。
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况。
可以看到：
(1)所有的图形都通过(1，1)这点。
(2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。
(3)当a大于1时，幂函数图形下凹;当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。
(4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。
(5)a大于0，函数过(0，0);a小于0，函数不过(0，0)点。
(6)显然幂函数无解。
